已知p^2+q^2=2,求证p+q<=2

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/26 15:51:54
用反证法哦,谢谢

证:反设p+q>2,则(p+q)^2>4,即p^2+q^2+2pq>4,
已知p^2+q^2=2,→2pq>2,由基本不等式p^2+q^2≥2pq得
p^2+q^2>2与已知矛盾,∴p+q≤2

q^3+p^3=(q+p)(q^2-p*q+p^2)=2
假设p+q>2,则由上式q^2-p*q+p^2<1,
而由(p-q)^2>=0,得p^2+q^2>=2p*q,因此2(p^2+q^2)>=p^2+2p*q+q^2=(p+q)^2,故p^2+q^2>=[(p+q)^2]/2,而且 (p+q)^2=p^2+2p*q+q^2>=4p*q,
p*q<=[(p+q)^2]/4,从而q^2-p*q+p^2=q^2+p^2-p*q>=[(p+q)^2]/2-[(p+q)^2]/4=[(p+q)^2]/4>2^2/4=1,这和由假设推出的q^2-p*q+p^2<1矛盾,
所以p+q<=2。

p^2+q^2>=2pq
所以(p+q)^2=p^2+q^2+2pq<=2*(p^2+q^2)=4
所以p+q<=2